Свойства join в ЧУМе

Операция $\lor$ в ЧУМе ассоциативна, коммутативна и идемпотентна.

**Идемпотентность:** $a \vee a = a$ Очевидно, т.к. $\{a, a\} = \{a\}$ и $\sup(\{a\}) = a$. **Коммутативность:** $a \vee b = b \vee a$ Очевидно, т.к. $\{a, b\} = \{b, a\}$. **Ассоциативность:** $(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$ Заметим, что $(a \preceq x \text{ и } b \preceq x) \iff \sup(\{a, b\}) \preceq x$. $x \in T(\{\sup(\{a, b\}), c\})$ означает, что $\sup(\{a, b\}) \preceq x \text{ и } c \preceq x$. Используя предыдущее замечание, получаем следующую цепочку эквивалентностей: $$x \in T(\{\sup(\{a, b\}), c\}) \iff a \preceq x \text{ и } b \preceq x \text{ и } c \preceq x \iff x \in T(\{a, b, c\})$$ Из этого следует, что $T(\{\sup(\{a, b\}), c\}) = T(\{a, b, c\})$. Аналогично, $T(\{a, \sup(\{b, c\})\} ) = T(\{a, b, c\})$. Следовательно, $T(\{\sup(\{a, b\}), c\}) = T(\{a, \sup(\{b, c\})\})$ Равенство множеств верхних границ означает равенство их наименьших верхних границ (супремумов): $$\sup(\{\sup(\{a, b\}), c\}) = \sup(\{a, \sup(\{b, c\})\})$$ По определению операции $\lor$ как $\sup$, это эквивалентно $(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$. $\square$

$(A, \vee)$ — полугруппа. Полурешетка = коммутативная полугруппа идемпотентов.